Прочностные свойства конечностей (как конструкции) в зависимости от условий их опирания

Влияние мягких окружающих тканей на процесс разрушения кости учитывается не всегда. С точки зрения механики деформированного твердого тела слой подлежащих мягких тканей (в первую очередь — мышц ) рассматривается как подстилающий слой. При деформации кости, подстилающий слой приводит к перераспределению изгибающего момента, уменьшая его максимальное значение. Очевидно, что немаловажное значение имеют и условия опирания объекта.

С целью оценки влияния подстилающего слоя был и проведены расчеты по определению параметров напряженно деформированного состояния (НДС ) кости При разных условиях ее опирания. В первом приближении, полагаем модули упругости материала кости на растяжение и сжатие одинаковым и и равным и Е.

Первый вариант (используется в большинстве публикации). Рассматривается кость, фиксированная головкам и к жесткой подложке. Упругий слой, моделирующий мягкие ткан и отсутствует

На рис. 1.а показана бедренная кость с приложенной в ее середине нагрузкой. На рис. 1, б показана расчетная схема кости в виде шарнирно опертой по концам балки, нагруженной сосредоточенной силой.

(1)

В этом случае в сечении под силой возникает максимальный изгибающий момент и максимальный прогиб [10]

(2)

где Е - модуль упругости материала балки, J - момент инерци и поперечного сечения, E J - жесткость балк и на изгиб.

Эпюра моментов для левой части балки представляет собой график зависимости

(3)

эпюра прогибо в [10] -

(4)

Правая часть эпюр представляется зеркальным отражением левой.

Второй вариант. Рассматривается кость, фиксированная диафизом к упругоподатливой подложке. Головки кости интактны.

На рис. 2, а показана бедренная кость на упругой подложке. На рис. 2, б показана ее расчетная схема в виде балки, свободно лежащей на упругой подложке.

Математическая модель последней принята в виде упругого основания Винклера с коэффициентом постели k :

r(z) = kv(z),

где r (z) - силы взаимодействия основания и изогнутой балки.

В этом случае изгибающий момент и прогиб также приобретают максимальные значения в сечении под силой. Получим далее формулы для М_max и V_max.

Параметры НДС балки на упругом основании модели Винклера можно записать в виде [10] :

где

• φ(ξ) — угол поворота поперечного сечения,
• Q(ξ) — поперечная сила,
• v₀, φ₀, M₀, Q₀ — соответственно, прогиб, угол поворота, изгибающий момент, поперечная сила в начале балки при (Z=0)
• ξ = az — безразмерная координата точки, где определяются параметры НДС балки:

(6)

- коэффициент приведенной длины (коэффициент относительной жесткости балк и EJ и основания к),

(7)

- функци и Крылова, табулированные значения которых можно найти, например, в [1] на стр. 670-672.

Для рассматриваемого случая. (см. рис. 2, б) M₀ = 0, Q₀ = 0.

Оставшиеся неизвестными V₀ и φ₀ найдем из условия симметрии под силой (при z = 1/2,  ξ₁ = а 1/2):

EJφ(ξ₁) = 0;

Q(ξ₁) = F/2.  (8)

Перепишем (8) с учетом (5):

Решая полученную систему двух уравнений относительно EJv₀ и EJφ₀, имеем:

(9)

Подставим (9 ) в (5) и получим функции:

(10)

позволяющие построить эпюры прогибов и моментов для левой част и балки. Правая часть этих эпю р является зеркальным отражением левой.

Максимальные момент и прогиб равны:

(11)

Проведем далее расчет конкретной балки при разных условиях опирания с целью выявить влияние подложки на распределение прогибов и моментов по оси кости.

Во всех примерах рассматривается балка длиной l = 50 см, загруженная силой F = 200 кг. Поперечное сечение балки имеет форм у кольца с наружным диаметром D = 3 см и внутренним диаметром d = 1,8 см. Модуль упругости материала балки принят равным Е=1.8-10⁸ кГ/см¹

Решение проводилось в среде MathCAD 7 Professional. Отметим, что при помощи этих расчетов (внеся необходимые изменения в исходные данные) можно произвести расчет при разных размерах кости, различных ее прочностных характеристиках и различных упругих свойствах подложки.

Вариант 1

Максимальный момент- формула (1)

  Максимальный прогиб - формула (2)

Вариант 2

Функция прогиба - формула (10)

 Изгибающий момент - формула (10)

Эпюра прогибов Эпюра моментов

Максимальный момент - формула (11)

Максимальный прогиб - формула (11)

Суммируя полученные данные, получаем следующее: из графиков, приведенных на рис. 3, видно, что наибольший изгибающий момент испытывает кость без упругого слоя, фиксированная головками к жесткой подложке. Наименьший изгибающий момент возникает в кости с интактными головками, расположенной на упругой подложке. Отметим, что в рассмотренном случае значения моментов разнятся примерно в два раза (1,88 раза).

Полученные при математическом моделировании данные могут применены практическим и экспертами при оценке характера и силы разрушающего воздействия при экспертизе дорожно-транспортной травмы, при исследовании рубленых повреждений конечностей, и при исследовании расчлененных останков.

Литература:

1. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. Том 1. Под. Ред. И.А. Биргера, Я.Г. Пановко. М: «Машиностроение», 1968, с.831

Рис.3. К статье С.В. Леонова, А.Д. Ловцова «НДС длинных трубчатых костей в зависимости от условий их опирания»